Desafio de Matemática

Introdução ao LiDAR

A empresa Albatroz Engenharia desenvolve sistemas de aquisição e modelação 3D baseados em sensores LiDAR. Para este exercício, considere-se apenas os LiDAR do tipo "Time of Flight".
Na sua forma mais simples, um sensor LiDAR "time of flight" consiste num emissor LASER que envia um pulso de luz LASER. Esta viaja em linha recta até encontrar um objecto que a reflicta de regresso ao sensor onde é captada por um receptor. Dividindo o tempo de voo por dois e pela velocidade da luz, obtém-se a distância ao objecto reflectido com elevada exatidão.

Apresentação do problema

Embora haja diferenças muito significativas entre eles, a sua maioria - incluindo todos os sensores a considerar neste exercício - tem como elemento comum um espelho rotativo que permite percorrer um arco de círculo cuja amplitude pode ir dos 60º aos 360º. Sendo o laser emitido na forma de luz pulsada define-se uma frequência de emissão de luz que iguala a frequência de amostragem do detector. Diz-se, por exemplo, que um LiDAR tem uma frequência de medida de 10kHz(*1).
Se o espelho rodar com uma velocidade angular fixa, o LiDAR oferece uma frequência de amostragem medida em fracções de arco de círculo fixa: um LiDAR de 2880 pontos por segundo que faça 5Hz de rotação do espelho, tem 1,6 medidas por grau de arco, ou seja 8 medidas em 5º.
Se o mesmo espelho do LiDAR rodar com uma frequência de 10Hz, a frequência de amostragem cai para 0,8 medidas por grau de arco, ou seja 4 medidas por cada 5º ou seja, a amostragem "transversal" divide-se por dois. Em contrapartida, se o LiDAR estiver montado num veículo em movimento (um automóvel, um helicóptero ou um UAV), a distância percorrida durante cada varrimento cai também para metade, o que significa que a amostragem "longitudinal" duplica. Isto mesmo está ilustrado no diagrama abaixo (*2):

Imagem

Numa inequação:

(FOV * resolution * scan rate) ≤ K

Onde:

  • FOV = Field of View é o arco • varrido pelo LiDAR
  • resolution é o número de pontos por unidade angular
  • scan rate é o número de varrimentos por segundo

 

Problema

Admitindo que um piloto de helicóptero é chamado a sobrevoar um território desconhecido e que o LiDAR de que dispõe está apontado simetricamente para baixo (o centro do leque de varrimento coincide com o nadir) pretende-se optimizar a amostragem do solo de forma a obter a melhor descrição espacial possível.
Em todos os casos, considera-se disponível um sensor de posicionamento perfeito.
Para todos os efeitos práticos, considera-se que a trajectória é uma linha recta e não há que assegurar a sobreposição (overlap) dos mapas.

Solução elementar

Hipóteses

  1. Todos os tipos de território têm o mesmo valor
  2. O LiDAR trabalha sempre à velocidade máxima (a inequação passa a equação:(FOV*resolution*scan rate)=K
  3. O FOV é constante
  4. A velocidade do helicóptero é fixa e não há custo ou perda de tempo a fazer manobras.
  5. A altura do helicóptero em relação ao solo (aquela que importa para a mostragem) é fixa.

Determine a formulação que especifica a amostragem ideal do território, considerando que nada mais se sabe sobre ele) e como esta incorpora o par de parâmetros (resolution, scan rate).

 

Solução a uma variável

Hipóteses

  1. Todos os tipos de território têm o mesmo valor
  2. O LiDAR trabalha sempre à velocidade máxima (a inequação passa a equação:
    (FOV*resolution*scan rate)=K
  3. O FOV é constante
  4. Se a velocidade do helicóptero for fixa e sem há custo ou perda de tempo a fazer manobras,
  5. a altura do helicóptero em relação ao solo (aquela que importa para a amostragem) é variável, ou vice-versa (velocidade variável e altura fixa).

Estenda a formulação anterior ou proponha uma nova formulação que optimize a amostragem do solo jogando com as leituras do LiDAR, o par (resolution, scan rate) e a variável escolhida.

 

Solução a duas variáveis

Hipóteses

  1. Todos os tipos de território têm o mesmo valor
  2. O LiDAR trabalha sempre à velocidade máxima (a inequação passa a equação:
    (FOV*resolution*scan rate)=K
  3. O FOV é constante

Estenda a formulação anterior ou proponha uma nova formulação que optimize a amostragem do solo jogando com as leituras do LiDAR, o par (resolution, scan rate) e as duas variáveis (velocidade e altura em relação ao solo).

 

Solução para mapeamento longitudinal

Imagine que o trabalho a realizar acompanha uma zona de interesse longitudinal (ex: fazer o mapa das margens de um rio para prever leitos de cheia; fazer o mapa das areias e arribas de uma costa).
Proponha uma formulação baseada nas leituras sensoriais e no controlo das variáveis que achar relevantes: par (resolution, scan rate), velocidade e altura em relação ao solo

Hipóteses

  1. O LiDAR trabalha sempre à velocidade máxima (a inequação passa a equação:
    (FOV*resolution*scan rate)=K
  2. O FOV é constante

 

Solução para mapeamento transversal

Imagine que o trabalho a realizar acompanha uma zona de interesse transversal (ex: levantamentos orográficos; estudos relacionando os ecossistemas e a altitude, instalação de teleféricos).
Proponha uma formulação baseada nas leituras sensoriais e no controlo das variáveis que achar relevantes: par (resolution, scan rate), velocidade e altura em relação ao solo.

Hipóteses

  1. O LiDAR trabalha sempre à velocidade máxima (a inequação passa a equação:
    (FOV*resolution*scan rate)=K
  2. O FOV é constante

(*1) Nota para os leitores mais avançados sem impacto no cálculo: na maior parte das
implementações os LiDAR usam entre 2 a 5 "ecos" para calcular uma medida, portanto, um LiDAR que calcule 10 mil medidas por segundo tem, tipicamente uma frequência de amostragem de 30kHz. Para todos os efeitos, considera-se que uma amostra detectada = uma medida entregue.

(*2) Rigorosamente, o padrão é um dente de serra pois o helicóptero progride enquanto o espelho roda e este efeito é considerado nas implementações reais. Porém, como na maioria dos casos o tempo que feixe demora a percorrer o Field of View é uma pequena fracção do período de varrimento (menos de 20%), este efeito pode ser negligenciado.

 

As repostas a estes desafio deverão ser entregues até 19 de Abril para: info@albatroz.engineering.